Question

若是函數(shù)在點(diǎn)附近的某個(gè)局部范圍內(nèi)的最大（小）值，則稱是函數(shù)的一個(gè)極值，為極值點(diǎn)．已知，函數(shù)．
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范圍．
（為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（1）的極小值點(diǎn)為1和，極大值點(diǎn)為．
（2）

試題分析：解：（Ⅰ）若，則，．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．                   …2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010407492488.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．           …4分
故的極小值點(diǎn)為1和，極大值點(diǎn)為．                …6分
（Ⅱ）不等式，
整理為．…（*）
設(shè)，
則（）
．                       …8分
①當(dāng)時(shí)，
，又，所以，
當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)，，遞減．
從而．
故，恒成立．                                           …11分
②當(dāng)時(shí)，
．
令，解得，則當(dāng)時(shí)，；
再令，解得，則當(dāng)時(shí)，．
取，則當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，，即．
這與“恒成立”矛盾．
綜上所述，．                                              …14分
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解極值和最值，以及不等式的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題。