Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：

（1）PA∥平面MDB；

（2）PD⊥BC．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）線面平行的判定關(guān)鍵在證相應(yīng)線線平行，線線平行的證明或?qū)で笮枰�結(jié)合平面幾何的知識(shí)，如中位線平行于底面，因?yàn)楸绢}中M為PC中點(diǎn)，所以應(yīng)取BD的中點(diǎn)作為解題突破口；（2）線線垂直的證明一般需要經(jīng)過(guò)多次線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，而對(duì)于面面垂直，基本是單向轉(zhuǎn)化，即作為條件，就將其轉(zhuǎn)化為線面垂直；作為結(jié)論，只需尋求線面垂直.如本題中面PCD與面ABCD垂直，就轉(zhuǎn)化為BC平面PCD，到此所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知線面垂直，要求證線線垂直.在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，要注意充分應(yīng)用平面幾何中的垂直條件,如矩形鄰邊相互垂直.

試題解析：證明：（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OM. 2分

因?yàn)?/span>M為PC中點(diǎn),O為AC中點(diǎn)，

所以MO//PA. 4分

因?yàn)?/span>MO平面MDB，PA平面MDB,

所以PA//平面MDB. 7分

（2）因?yàn)槠矫?/span>PCD平面ABCD,

平面PCD平面ABCD =CD,

BC平面ABCD ,BCCD,

所以BC平面PCD. 12分

因?yàn)?/span>PD平面PCD,

所以BCPD 14分