17、是否存在正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9對任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.
分析:我們將n=1,2,3,4依次代入,計(jì)算相應(yīng)的f(n)的值,由此不難得到滿足條件的m值,然后再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對結(jié)論進(jìn)行證明.
解答:解:由f(n)=(2n+7)•3n+9,得f(1)=36,
f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.
(2)假設(shè)n=k時(shí),f(k)能被36整除,
即f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除;
當(dāng)n=k+1時(shí),[2(k+1)+7]•3k+1+9=3[(2k+7)•3k+9]+18(3k-1-1),
由于3k-1-1是2的倍數(shù),故18(3k-1-1)能被36整除.
這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知對一切正整數(shù)n都有f(n)=(2n+7)•3n+9能被36整除,m的最大值為36.
點(diǎn)評:數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì),其步驟為:設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時(shí)成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設(shè)下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對一切自然數(shù)n都成立.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)
(q是常數(shù)且q>0,q≠1,).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)q=
1
3
時(shí),試證明a1+a2+…+an
1
2
;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=logqx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),是否存在正整數(shù)m,使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
m
3
對任意n∈N*都成立?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)圖象過點(diǎn)A(2,1)和B(5,2),設(shè)an=3f(n),n∈N*
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a;
(Ⅲ)對每一個(gè)k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2,得到新數(shù)列:a1,2,a2,2,2,a3,2,2,2,2,a4,…,記為{bn},設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,試問是否存在正整數(shù)m,使Tm=2008?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為100,且a4=7,對任意的k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2,得到新數(shù)列{bn},設(shè)Sn、Tn分別是{an}﹑{bn}前n項(xiàng)和.
(Ⅰ)a10是數(shù)列{bn}的第幾項(xiàng)?
(Ⅱ)是否存在正整數(shù)m,使Tm=2008?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)若am是數(shù)列{bn}的第f(m)項(xiàng),試比較Tf(m)與Sm+2的大小,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),bn=log2an,若數(shù)列{bn}滿足b2=0,bn+1=bn+log2p,其中p為正常數(shù),且p≠1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí),a1•a4•a7•…•a3n-2>a16恒成立?若存在,求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值;若不存在,請說明理由;
(3)若p=2,設(shè)數(shù)列{cn}對任意的n∈N*,都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立,問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列?若是,請求出其通項(xiàng)公式;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)已知數(shù)列{an},定義其倒均數(shù)是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
,n∈N*

(1)若數(shù)列{an}倒均數(shù)是Vn=
n+2
2
,求an
;
(2)若等比數(shù)列{bn}的公比q=2,其倒均數(shù)為Vn,問是否存在正整數(shù)m,使得當(dāng)n≥m(n∈N*)時(shí),nVn
15
8b1
恒成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,說明理由.

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