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已知函數f(x)=log3(ax+b)圖象過點A(2,1)和B(5,2),設an=3f(n),n∈N*
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式及數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數a;
(Ⅲ)對每一個k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個2,得到新數列:a1,2,a2,2,2,a3,2,2,2,2,a4,…,記為{bn},設Tn是數列{bn}的前n項和,試問是否存在正整數m,使Tm=2008?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)直接把點A(2,1)和B(5,2)的坐標代入函數方程求出a,b的值,即可求函數f(x)的解析式及數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)先把問題轉化為a≤
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
對n∈N*均成立,再記F(n)=
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
,相鄰兩相作商得到其單調行,進而求出其最小值即可得到最大實數a;
(Ⅲ)先根據條件求出am及其前面所有項之和的表達式,再根據102+210-2=1122<2008<112+211-2=2167,即a10<2008<a11,即可找到滿足條件的m的值.
解答:解:(Ⅰ)由已知,得
log
 
(2a+b)
3
=1
log
 
(5a+b)
3
=2
解得:
a=2
b=-1

f(x)=log3(2x-1), (x>
1
2
)
…(2分)
an=3log3(2n-1)=2n-1.n∈N*
∴數列{an}的通項公式為an=2n-1…(4分)
(Ⅱ)由題意a≤
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
對n∈N*均成立…(5分)
F(n)=
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)

F(n+1)
F(n)
=
2n+2
(2n+1)(2n+3)
=
2(n+1)
4(n+1)2-1
2(n+1)
2(n+1)
=1

∵F(n)>0,∴F(n+1)>F(n)
∴F(n)隨著n的增大而增大…(7分)
而F(n)的最小值為F(1)=
2
3
3

∴a≤
2
3
3
,即a的最大值為
2
3
3
…(8分)
(Ⅲ)∵an=2n-1
∴在數列{bn}中,am及其前面所有項之和為[1+3+5+…+(2m-1)]+(2+22+…+2m-1)=m2+2m-2…(10分)
∵102+210-2=1122<2008<112+211-2=2167
即a10<2008<a11…(11分)
又a10在數列{bn}中的項數為:10+1+2+…+28=521…(12分)
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整數m=521+443=964,使得Sm=2008…(14分)
點評:本題綜合考查了數列與函數的知識.解決第三問的關鍵在于求出am及其前面所有項之和的表達式,并通過計算得到102+210-2=1122<2008<112+211-2=2167,即a10<2008<a11從而使問題得到解決.
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x+1
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x1+x2
2
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1
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3
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+
3
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x
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6
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6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
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