Question

（2012•安徽模擬）已知數列{a_n}，定義其倒均數是Vn=

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

n

，n∈N*．
（1）若數列{a_n}倒均數是Vn=

n+2

2

，求an；
（2）若等比數列{b_n}的公比q=2，其倒均數為V_n，問是否存在正整數m，使得當n≥m（n∈N^*）時，nV_n＜

15

8b1

恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數列{a_n}倒均數是Vn=

n+2

2

，可得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

n2+2n

2

，再寫一式，兩式相減可得數列的通項；
（2）求出等比數列{b_n}的倒均數為Vn=

2[1-( 1 2 )n]

b1n

，不等式nV_n＜

15

8b1

，即

2[1-( 1 2 )n]

b1

＜

15

8b1

，再分類討論，即可得到結論．

解答：解：（1）∵數列{a_n}倒均數是Vn=

n+2

2

∴

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

n

=

n+2

2

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

n2+2n

2

當n≥2時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

=

(n-1)2+2(n-1)

2

兩式相減可得

1

an

=

2n+1

2

∴a_n=

2

2n+1

（n≥2）
∵n=1時，

1

a1

=

3

2

，∴a₁=

2

3

也滿足上式
∴a_n=

2

2n+1

；
（2）∵等比數列{b_n}的公比q=2，∴{

1

bn

}是公比為

1

2

的等比數列，
∴等比數列{b_n}的倒均數為Vn=

2[1-( 1 2 )n]

b1n

不等式nV_n＜

15

8b1

，即

2[1-( 1 2 )n]

b1

＜

15

8b1

若b₁＜0，則不等式為2[1-(

1

2

)n]＞

15

8

，∴n＞4，因此此時存在正整數m，使得當n≥m（n∈N^*）時，nV_n＜

15

8b1

恒成立，且m的最小值為4；
若b₁＞0，則不等式為2[1-(

1

2

)n]＜

15

8

，∴n＜4，因此此時不存在正整數m，使得當n≥m（n∈N^*）時，nV_n＜

15

8b1

恒成立．

點評：本題考查新定義，考查數列的通項，考查數列中存在性問題，考查分類討論的數學思想，正確理解新定義是關鍵．