Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，若對(duì)任意的，也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的，均有，其中表示數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且，求的所有可能值；

（3）若對(duì)任意的，也是數(shù)列中的項(xiàng)，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）、10、12、16；（3）證明見解析.

【解析】

（1）已知與關(guān)系,結(jié)合等差數(shù)列的定義,即可證明;

（2）根據(jù)“數(shù)列”的定義,可推出公差的所有可能值，即可求出的所有可能值;

（3）由已知任意的,也是數(shù)列中的項(xiàng),得到與公差的關(guān)系,從而求得的通項(xiàng),即可得到證明.

（1）由,得,

,

即,,

兩式相減得,

數(shù)列為等差數(shù)列;

（2）設(shè)的公差為,

,

由于數(shù)列為“數(shù)列”，是的項(xiàng)

,

，

的可能值為,

的所有可能值;

（3）設(shè),

,也是數(shù)列中的項(xiàng),

設(shè)是中的第項(xiàng)，則

，

是中的第項(xiàng)，

數(shù)列為“數(shù)列”.