Question

2．如圖陰影部分是由曲線y=2x²和x²+y²=3及x軸圍成的部分封閉圖形，則陰影部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• B． $\frac{π}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$
• C． $\frac{3π}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{3π}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 首先求出曲線的交點(diǎn)，然后求直線y=$\sqrt{3}$x與y=2x²圍成的面積S₁，利用扇形的面積公式，求得扇形AOB的面積S₂，陰影部分的面積S=S₂-S₁=$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

解答 解：曲線y=2x²和圓x²+y²=3的在第一象限的交點(diǎn)為A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則直線OA的方程方程為：y=$\sqrt{3}$x，
∴直線OA與拋物線y=2x²所圍成的面積S₁=${∫}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$（$\sqrt{3}$x-2x²）dx=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{2}{3}$x³）${丨}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$-$\frac{2}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
則扇形AOB圓心角為α=$\frac{π}{3}$，則扇形AOB的面積S₂=$\frac{1}{2}$αr²=$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$×3=$\frac{π}{2}$，
∴陰影部分的面積S=S₂-S₁=$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用定積分求陰影部分的面積，關(guān)鍵是利用定積分表示面積，屬于中檔題．