【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在
上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),分別求函數(shù)
的最小值和
的最大值,并證明當(dāng)
時(shí),
成立;
(3)令,當(dāng)
時(shí),判斷函數(shù)
有幾個(gè)不同的零點(diǎn)并證明.
【答案】(1)(2)見解析(3)函數(shù)
只有1個(gè)零點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒小于等于零,構(gòu)造函數(shù),利用根的分布即可求出;(2)分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求最值;(3)分離函數(shù),求導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào),再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理證明即可.
試題解析:
(1)由題意得在
上恒成立,
令,有
即
得,所以
.
(2)由題意可得
令,則
,
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),
取最小值3.
,令
,得
,
當(dāng),
,
在
上單調(diào)遞增,
所以,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
,
所以當(dāng)時(shí),
.
(3)因?yàn)?/span>,
所以,
其定義域?yàn)?/span>,
,
因?yàn)?/span>,所以
,所以
在
上單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>,所以
,
,
所以,
又,所以函數(shù)
只有1個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,已知直線
的極坐標(biāo)方程為
,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)設(shè) 為參數(shù),若
,求直線
的參數(shù)方程;
(2)已知直線 與曲線
交于
,設(shè)
,且
,求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù) 是定義域?yàn)?
的偶函數(shù),當(dāng)
時(shí),
若關(guān)于
的方程
有且僅有8個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)
的取
值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) 是定義在
上的單調(diào)函數(shù),且對于任意正數(shù)
有
,已知
,若一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列
滿足
,其中
是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,則數(shù)列
中第18項(xiàng)
( )
A.
B.9
C.18
D.36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形,且其周長為
.
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)過點(diǎn)B(0,m)(m>0)的直線 與橢圓C相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D,若點(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi),求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下:消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元;停在B區(qū)域返券30元;停在C區(qū)域不返券.例如:消費(fèi)218元,可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(1)若某位顧客消費(fèi)128元,求返券金額不低于30元的概率;
(2)若某位顧客恰好消費(fèi)280元,并按規(guī)則參與了活動(dòng),他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(
)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),對于任意
,
,總有
成立,其中
是自然對數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),
,
,且
對任意
恒成立,記
的前
項(xiàng)和為
.
(1)若,求
的值;
(2)證明:對任意正實(shí)數(shù),
成等比數(shù)列;
(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列
為等比數(shù)列.若存在,求出此時(shí)
和
的表達(dá)式;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間;
(2)如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)
的取值集合;
(3)是否存在正數(shù)k,使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?如果存在,求k滿足的條件;如果不存在,說明理由.
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