【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),

移項后兩邊平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1,

即有橢圓C1 +y2=1;

曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2

即有ρ( sinθ+ cosθ)=2 ,

由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,

即有C2的直角坐標(biāo)方程為直線x+y﹣4=0


(2)

解:由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時,

|PQ|取得最值.

設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,

聯(lián)立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,

由直線與橢圓相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,

解得t=±2,

顯然t=﹣2時,|PQ|取得最小值,

即有|PQ|= = ,

此時4x2﹣12x+9=0,解得x= ,

即為P(


【解析】(1)運用兩邊平方和同角的平方關(guān)系,即可得到C1的普通方程,運用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及兩角和的正弦公式,化簡可得C2的直角坐標(biāo)方程;(2)由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時,|PQ|取得最值.設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,代入橢圓方程,運用判別式為0,求得t,再由平行線的距離公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐標(biāo).;本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,同時考查直線與橢圓的位置關(guān)系,主要是相切,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少?

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一年級

二年級

三年級

男同學(xué)

A

B

C

女同學(xué)

X

Y

Z

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加乒乓球比賽每人被選到的可能性相同).

1用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果

2設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率

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