Question

【題目】 （a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 離心率為 ，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF1F2的周長為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（﹣4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記 ，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得 ，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求該定直線的方程．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）∵△AF1F2的周長為 ， ∴2a+2c= ，即 ．
又 ，解得a=2， ，b2=a2﹣c2=1．
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率必存在，
設(shè)其方程為y=k（x+4），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
由
得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣4=0．
由題意△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）＞0，即12k2﹣1＜0．
則 ， ．
由 ，得（﹣4﹣x1 ， ﹣y1）=（x2+4，y2），
∴﹣4﹣x1=λ（x2+4），∴ ．
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x0 ， y0），由 ，
得（x0﹣x1 ， y0﹣y1）=﹣λ（x2﹣x0 ， y2﹣y0），
∴x0﹣x1=﹣λ（x2﹣x0），
解得 = = ，
而2x1x2+4（x1+x2）= =﹣ ，
，
∴ ，
故點(diǎn)R在定直線x=﹣1上．
【解析】（Ⅰ）利用橢圓的定義、 及b2=a2﹣c2即可解出；（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率必存在，設(shè)其方程為y=k（x+4），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量 ， ，即可得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，消去λ及k即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．