【題目】(本題滿分15分)已知中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為的橢圓過點(,).
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(Ⅰ) 解:由題意可設(shè)橢圓方程為(a>b>0),
則故
所以,橢圓方程為. ……………………………5分
(Ⅱ) 解:由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得
(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
則Δ=64k2b2-16(1+4k2b2)(b2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
且,.
故 y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
因為直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,
所以==k2,
即+m2=0,又m≠0,
所以k2=,即k=.
由于直線OP,OQ的斜率存在,且Δ>0,得
0<m2<2 且m2≠1.
設(shè)d為點O到直線l的距離,
則S△OPQ=d |PQ |=|x1-x2 | |m |=,
所以S△OPQ的取值范圍為 (0,1). ……………………………15分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查教師對教育改革認識水平,現(xiàn)從某市年齡在的教師隊伍中隨機選取100名教師,得到的頻率分布直方圖如圖所示,若從年齡在中用分層抽樣的方法選取6名教師代表.
(1)求年齡在中的教師代表人數(shù);
(2)在這6名教師代表中隨機選取2名教師,求在中至少有一名教師被選中的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某工廠要設(shè)計一個部件(如圖陰影部分所示),要求從圓形鐵片上進行裁剪,部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成,設(shè)矩形的兩邊長分別為,(單位:cm),且要求 ,部件的面積是.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并求定義域;
(2)為了節(jié)省材料,請問x取何值時,所用到的圓形鐵片面積最小,并求出最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)求與直線3x+4y-7=0垂直,且與原點的距離為6的直線方程;
(2)求經(jīng)過直線l1:2x+3y-5=0與l2:7x+15y+1=0的交點,且平行于直線x+2y-3=0的直線方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公園舉辦雕塑展覽吸引著四方賓客,旅游人數(shù)與人均消費(元)的關(guān)系如下:.
(1)若游客客源充足,那么當天接待游客多少人時,公園的旅游收入最多?
(2)若公園每天運營成本為5萬元(不含工作人員的工資),還要上繳占旅游收入的稅收,其余自負盈虧,目前公園的工作人員維持在40人,要使工作人員平均每人每天的工資不低于100元,并維持每天正常運營(不負債),每天的游客人數(shù)應(yīng)控制在怎樣的合理范圍內(nèi)?(注:旅游收入=旅游人數(shù)×人均消費)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標方程;
(2)若曲線截直線所得線段的中點坐標為,求的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,過橢圓的左焦點且傾斜角為的直線與圓相交所得弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點的直線與橢圓交于兩點,且,若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點,求實數(shù)的值;
(2)若對任意的(為自然對數(shù)的底數(shù))都有≥成立,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com