Question

已知，點(diǎn)滿(mǎn)足，記點(diǎn)的軌跡為.
（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn). （i）設(shè)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（ii）過(guò)、作直線(xiàn)的垂線(xiàn)、，垂足分別為、，記
，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅰ）由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)右支，由，∴，故軌跡E的方程為…………3分
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立消得，設(shè)、，
∴，   解得 ……………5分
（i）∵

   
……………………7分
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，
故得對(duì)任意的恒成立，
∴，解得   ∴當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由及知結(jié)論也成立，
綜上，存在，使得. …………………………………………8分
（ii）∵，∴直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)，…………………………9分
由雙曲線(xiàn)定義得：，，
方法一：∴
 …………………………………………10分
∵，∴，∴………………………………………11分
注意到直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，綜上， …………………12分
   方法二：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，由于直線(xiàn)

與雙曲線(xiàn)右支有二個(gè)交點(diǎn)，∴，過(guò)
作，垂足為，則，          
∴ …（10分）
由，得 故： …（12分）