Question

（本題滿分12分）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足   ，其中，且.  （1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  2 （Ⅲ）（0，1

解.（1）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120407831613.gif" style="vertical-align:middle;" />，則
所以即點(diǎn)的軌跡方程為 ---    3分
（2）  明：由
設(shè)，則
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120408049368.gif" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以
化簡(jiǎn)得----8分
（3）  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120408548482.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120408595906.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1——12分