【題目】如圖,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于點F,若BF=FC=3,DF=FE=2.

(1)求證:ADAB=AEAC;
(2)求線段BC的長度.

【答案】
(1)

證明:由已知∠BDC=∠BEC=90°,

所以B,C,D,E四點在以BC為直徑的圓上,

由割線定理知:ADAB=AEAC


(2)

解:如圖,過點F作FG⊥BC于點G,

由已知,∠BDC=90°,又因為FG⊥BC,所以B,G,F(xiàn),D四點共圓,

所以由割線定理知:CGCB=CFCD,①

同理,F(xiàn),G,C,E四點共圓,由割線定理知:

BFBE=BGBC,②

①+②得:CGCB+BGBC=CFCD+BFBE,

即BC2=CFCD+BFBE=3×5+3×5=30,

所以BC=


【解析】(1)推導(dǎo)出B,C,D,E四點在以BC為直徑的圓上,由割線定理能證明ADAB=AEAC.(2)過點F作FG⊥BC于點G,推導(dǎo)出B,G,F(xiàn),D四點共圓,F(xiàn),G,C,E四點共圓,由此利用割線定理能求出BC的長.

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