【題目】設(shè)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F1 , 過(guò)F1的直線l與曲線C相交于M,N兩點(diǎn).
(1)若直線l的傾斜角為60°,且|MN|= ,求p;
(2)若p=2,橢圓 +y2=1上兩個(gè)點(diǎn)P,Q,滿足:P,Q,F(xiàn)1三點(diǎn)共線且PQ⊥MN,求四邊形PMQN的面積的最小值.
【答案】
(1)解:直線l的方程為y= (x﹣ ),代入拋物線方程,整理可得 =0,
∴xN+xM= ,
∵|MN|= ,
∴ +p= ,∴p=2;
(2)解:當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),直線PQ斜率為0,此時(shí)|MN|=4,|PQ|=2 ,SPMQN=4 .
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)方程為y=k(x﹣1)(k≠0),代入拋物線可得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,
∴xM+xN= +2,
∴|MN|= +4
由PQ⊥MN,可設(shè)PQ的方程y=﹣ (x﹣1),代入橢圓方程得(k2+2)x2﹣4x+2﹣2k2=0,
∴xP+xQ= ,xPxQ= ,
∴PQ|= = ,
∴S= ,
令t=1+k2(t>1),S= =4 (1+ )>4 ,
∴四邊形PMQN的面積的最小值為4 .
【解析】(1)直線l的方程為y= (x﹣ ),代入拋物線方程,利用弦長(zhǎng)公式,求p;(2)分類討論,求出弦長(zhǎng),表示面積,即可得出結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作,其卷下中有類似如下的問(wèn)題:“今有方物一束,外周一匝有四十枚,問(wèn)積幾何?”如右圖是解決該問(wèn) 題的程序框圖,若設(shè)每層外周枚數(shù)為a,則輸出的結(jié)果為( )
A.81
B.74
C.121
D.169
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某重點(diǎn)中學(xué)為了解高一年級(jí)學(xué)生身體發(fā)育情況,對(duì)全校700名高一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣檢查,測(cè)得身高(單位:cm)頻數(shù)分布表如表1、表2. 表1:男生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) | [180,185) | [185,190) |
頻數(shù) | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:女生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) | [150,155) | [155,160) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) |
頻數(shù) | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)求該校高一女生的人數(shù);
(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在[165,180)的概率;
(3)以樣本頻率為概率,現(xiàn)從高一年級(jí)的男生和女生中分別選出1人,設(shè)X表示身高在[165,180)學(xué)生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知△ABC的面積為accosB,BC的中點(diǎn)為D. (Ⅰ) 求cosB的值;
(Ⅱ) 若c=2,asinA=5csinC,求AD的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的表面積為( )
A.24+8 +8
B.20+8 +4 ??
C.20+8 +4
D.20+4 +4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題的敘述:
①若p:x>0,x2﹣x+1>0,則¬p:x0≤0,x02﹣x0+1≤0;
②三角形三邊的比是3:5:7,則最大內(nèi)角為 π;
③若 = ,則 = ;
④ac2<bc2是a<b的充分不必要條件,
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)關(guān)于x的不等式2m﹣1>f(x)有解,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,已知a2=3,且a1、a3、a7成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 記bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線 ,θ∈[0,2π)上一點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)M(a,0),(a>0)的最小距離為 ,則a= .
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