Question

【題目】已知拋物線：，圓：.

（1）若過拋物線的焦點的直線與圓相切，求直線方程；

（2）在（1）的條件下，若直線交拋物線于，兩點，軸上是否存在點使（為坐標原點）？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）切線方程為或.（2）見解析

【解析】

（1）先求得拋物線的焦點，根據點斜式設出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的方程.（2）聯立直線的方程和拋物線的方程，化簡后寫出韋達定理，根據，則列方程，解方程求得的值，進而求得點的坐標.

解：（1）由題知拋物線的焦點為，

當直線的斜率不存在時，過點的直線不可能與圓相切；

所以過拋物線焦點與圓相切的直線的斜率存在，

設直線斜率為，則所求的直線方程為，即，

所以圓心到直線的距離為，

當直線與圓相切時，有，

所以所求的切線方程為或.

（2）由（1）知，不妨設直線：，交拋物線于，兩點，

聯立方程組，

所以，，

假設存在點使，

則.

而，，

所以

，

即，

故存在點符合條件.

當直線：時，

由對稱性易知點也符合條件.

綜合可知在（1）的條件下，存在點使.