【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)．

（1）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值．

【答案】
（1）解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線CD，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，

則C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．

∴ ， ， ，

∴ ， ，

∴DE⊥CA，DE⊥CP，

又CP∩CA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，∵DE平面PDE，

∴平面PDE⊥平面PAC．


（2）解： ，

設(shè) 是平面PDE的一個法向量，則 ，

∴ ，

令x=2，則y=1，z=2，即 ，

∴ =4，| |=3，| |=2，

∴cos＜ ＞= = ．

∴直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為 ．


【解析】（1）點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量 ， ， 的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（2）求出平面PDE的法向量 ，計(jì)算 與 的夾角，則直線PC與平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜ ＞|．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．

（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1 ．

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【題目】記關(guān)于x的不等式 的解集為P，不等式|x+2|＜3的解集為Q
（1）若a=3，求P；
（2）若P∪Q=Q，求正數(shù)a的取值范圍．

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【題目】某地區(qū)的農(nóng)產(chǎn)品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的銷售價(jià)格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一農(nóng)戶在第x天（1≤x≤20，x∈N*）農(nóng)產(chǎn)品A的銷售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a為常數(shù)），且該農(nóng)戶在第7天銷售農(nóng)產(chǎn)品A的銷售收入為2009元．
（1）求該農(nóng)戶在第10天銷售農(nóng)產(chǎn)品A的銷售收入是多少？
（2）這20天中該農(nóng)戶在哪一天的銷售收入最大？為多少？

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【題目】集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且僅有一個元素，則常數(shù)a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；
（1）試求不等式的解集A；
（2）對于不等式的解集A，記B=A∩Z（其中Z為整數(shù)集），若集合B為有限集，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，使得集合B中元素個數(shù)最少，并用列舉法表示集合B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，① ；② ；③向量 與向量 的夾角是60°；④正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為 ．其中正確的命題是（寫出所有正確命題編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在 （﹣∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f（ ），c=f（0.20.6），則a，b，c大小關(guān)系是 ．

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【題目】已知a，b，x，y∈R，證明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2 ， 并利用上述結(jié)論求（m2+4n2）（ + ）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．

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