【題目】設(shè)函數(shù)，，其中,是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)，當(dāng)時，求的最小值；

（2）證明：當(dāng)，時，總存在兩條直線與曲線與都相切；

（3）當(dāng)時，證明：.

【答案】（1）最小值（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）求出的解析式，求導(dǎo)求單調(diào)性，然后則可求出最小值.（2）總存在兩條直線與曲線與都相切，及與永遠(yuǎn)都存在兩條公切線，分別設(shè)出切點求出切線方程，根據(jù)切線方程為同一條，列出方程組求解，證明等式恒成立即可. （3）即證明當(dāng)時，.令，求導(dǎo)求令的最小值大于0即可.

解：（1），，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

故時，取得最小值.

（2）∵，

∴在點處的切線方程為；

∵，

∴在點處的切線方程為.

由題意得，則.

令，則，

由（1）得時，單調(diào)遞增，又，時，，

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

由（1）得，

又，

，所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點，

故當(dāng)時，總存在兩條直線與曲線與都相切.

（3）.

令，以下證明當(dāng)時，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時，，；

②當(dāng)時，，

令，，

又，取且使，即，

則，

∵,故存在唯一零點，

即有唯一的極值點且為極小值點，又，

且，即，故，

∵，故是上的減函數(shù).

∴,所以.

綜上，當(dāng)時，.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù).其中.

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圖1

表2技術(shù)改進(jìn)后樣本的頻率分布表

高度

頻數(shù)

（1）根據(jù)圖1和表2提供的信息，試從移植率的角度對培育技術(shù)改進(jìn)前后的優(yōu)劣進(jìn)行比較；

（2）估計培育技術(shù)未改進(jìn)的基地樹苗高度的平均數(shù)；

（3）在市場中，規(guī)定高度在內(nèi)的為三等苗，內(nèi)的為二等苗，內(nèi)的為一等苗.現(xiàn)從表2高度不低于的樹苗樣本中采用分層抽樣的方法抽取株，再從這株幼苗中隨機(jī)抽取株，求這株中一、二、三等苗都有的概率.

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【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）若是上的單調(diào)函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時，求證：若，且，則.

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（1）若要求米，米，求與的值；

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當(dāng)，且時，求m的取值范圍．

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