【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長為的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點在棱上,滿足, ,點在棱上,且,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ) .
【解析】試題分析:第一問取中點,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得,根據(jù)題中所給的邊長,利用勾股定理求得,利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結果;第二問根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標系,寫出相應的點的坐標,求得面的法向量,利用法向量所成角的余弦值得出結果;第三問利用向量間的關系,利用向量垂直的條件,利用向量的數(shù)量積等于0,得出所求的比值與的關系式,利用函數(shù)的有關知識求得結果.
(Ⅰ)方法1:
設的中點為,連接, . 由題意
, ,
因為在中, , 為的中點
所以,
因為在中, , ,
所以
因為, 平面
所以平面
因為平面
所以平面 平面
方法2:
設的中點為,連接, .
因為在中, , 為的中點
所以,
因為, ,
所以≌≌
所以
所以
因為, 平面
所以平面
因為平面
所以平面 平面
方法3:
設的中點為,連接,因為在中, ,
所以
設的中點,連接, 及.
因為在中, , 為的中點
所以.
因為在中, , 為的中點
所以.
因為, 平面
所以平面
因為平面
所以
因為, 平面
所以平面
因為平面
所以平面 平面
(Ⅱ)由平面, ,如圖建立空間直角坐標系,則
, , , ,
由平面,故平面的法向量為
由,
設平面的法向量為,則
由得:
令,得, ,即
由二面角是銳二面角,
所以二面角的余弦值為
(Ⅲ)設, ,則
令
得
即,μ是關于λ的單調(diào)遞增函數(shù),
當時, ,
所以
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【題目】小王想進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場頂測,投資A類產(chǎn)品和B類產(chǎn)品的收益分別為(萬元),它們與投資額x(萬元)存在如下關系式:,,小王準備將200萬元資金投入A、B兩類理財產(chǎn)品,公司要求每類產(chǎn)品的投資金額不能低于25萬元
(1)若對B類產(chǎn)品的投資金額為x(萬元),求總收益y(萬元)關于x的函數(shù)關系式;
(2)請你幫助小王預算如何分配投資資金,才能使總收益最大,并求出最大總收益.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會分會場之一落戶黔東南州黎平縣肇興侗寨,黔東南州某中學高二社會實踐小組就社區(qū)群眾春晚節(jié)目的關注度進行了調(diào)查,隨機抽取80名群眾進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段: ,,,, , ,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這80名群眾年齡的中位數(shù);
(Ⅱ)將頻率視為概率,現(xiàn)用隨機抽樣方法從該社區(qū)群眾中每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中年齡在的人數(shù)為,若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列,及數(shù)學期望.
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【題目】某名校從年到年考入清華,北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來。(為了方便計算,將年編號為,年編為,以此類推……)
年份 | ||||||||||
人數(shù) |
(1)將這年的數(shù)據(jù)分為人數(shù)不少于人和少于人兩組,按分層抽樣抽取年,問考入清華、北大的人數(shù)不少于20的應抽多少年?在抽取的這年里,若隨機的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數(shù)不少于的概率是多少?;
(2)根據(jù)最近年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預測年該校考入清華、北大的人數(shù)。(結果要求四舍五入至個位)
參考公式:
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【題目】已知O為內(nèi)一點,若分別滿足①;②;③;④(其中為中,角所對的邊).則O依次是的( )
A.內(nèi)心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、內(nèi)心
C.外心、內(nèi)心、重心、垂心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心
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【題目】某商場在一部向下運行的手扶電梯終點的正上方豎直懸掛一幅廣告畫.如圖,該電梯的高AB為4米,它所占水平地面的長AC為8米.該廣告畫最高點E到地面的距離為10.5米,最低點D到地面的距離6.5米.假設某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米,他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ.
(1)設此人到直線EC的距離為x米,試用x表示點M到地面的距離;
(2)此人到直線EC的距離為多少米時,視角θ最大?
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,點也為拋物線的焦點.(1)若為橢圓上兩點,且線段的中點為,求直線的斜率;
(2)若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,設線段的長分別為,證明是定值.
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【題目】在標有“甲”的袋中有個紅球和個白球,這些球除顏色外完全相同.
(Ⅰ)若從袋中依次取出個球,求在第一次取到紅球的條件下,后兩次均取到白球的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)從甲袋中取出個紅球, 個白球,裝入標有“乙”的空袋.若從甲袋中任取球,乙袋中任取球,記取出的紅球的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】某電力公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的,按照綜合得分的高低進行綜合排序,綜合排序高者中標。分值權重表如下:
總分 | 技術 | 商務 | 報價 |
100% | 50% | 10% | 40% |
技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質(zhì)、資信等實力來決定的。報價表則相對靈活,報價標的評分方法是:基準價的基準分是68分,若報價每高于基準價1%,則在基準分的基礎上扣0.8分,最低得分48分;若報價每低于基準價1%,則在基準分的基礎上加0.8分,最高得分為80分。若報價低于基準價15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基礎上扣0.8分。在某次招標中,若基準價為1000(萬元)。甲、乙兩公司綜合得分如下表:
公司 | 技術 | 商務 | 報價 |
甲 | 80分 | 90分 | 分 |
乙 | 70分 | 100分 | 分 |
甲公司報價為1100(萬元),乙公司的報價為800(萬元)則甲,乙公司的綜合得分,分別是
A. 73,75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4
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