【題目】某商場在一部向下運(yùn)行的手扶電梯終點(diǎn)的正上方豎直懸掛一幅廣告畫.如圖,該電梯的高AB為4米,它所占水平地面的長AC為8米.該廣告畫最高點(diǎn)E到地面的距離為10.5米,最低點(diǎn)D到地面的距離6.5米.假設(shè)某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米,他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ.
(1)設(shè)此人到直線EC的距離為x米,試用x表示點(diǎn)M到地面的距離;
(2)此人到直線EC的距離為多少米時(shí),視角θ最大?
【答案】(1);(2)此人到直線EC的距離為6米時(shí),視角θ最大.
【解析】試題分析:
(1)延長交于,即為所求,只要求得即可,這在中可求;
(2)作于,則,求出這兩個(gè)角的正切值,由兩角差的正切公式求出,最后由基本不等式可求得最大值.
試題解析:
(1)作MG⊥CE交于點(diǎn)G,作NH⊥AC交于H,則CH=GM=x.
在Rt△BAC中,因?yàn)?/span>AB=4,AC=8,所以tan∠BCA=,
所以NH=CH·tan∠BCA=,
所以MH=MN+NH=.
(2)因?yàn)?/span>MH=GC,
所以DG=DC-GC=DC-MH=5-,
EG=EC-GC=EC-MH=9-.
在Rt△DGM中,tan∠DMG==,
在Rt△EGM中,tan∠EMG==,
所以tanθ=tan∠EMD=tan(∠EMG-∠DMG)
==
=
=(0<x≤8).
由x>0,得5x>0,>0,所以5x-28+≥2-28=32,
所以tanθ=≤.
當(dāng)且僅當(dāng)5x=,即x=6時(shí)取“=”,且6∈(0,8].
因?yàn)?/span>y=tanθ在區(qū)間(0,)上是單調(diào)增函數(shù),
所以當(dāng)x=6米時(shí),tanθ取最大值,此時(shí)視角θ取最大值.
答:此人到直線EC的距離為6米時(shí),視角θ最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線且.圓C與直線相切于點(diǎn)A,且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為,圓心C在直線上.
(1)求直線之間的距離;
(2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓C交于兩點(diǎn),當(dāng)△CPQ的面積最大時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員,日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元,每銷售一件產(chǎn)品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元,日銷售量不超過45件沒有提成,超過45件的部分每件提成8元.
(I)請(qǐng)將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(II)從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員,對(duì)他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元),將該頻率視為概率,請(qǐng)回答下面問題:
某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作,如果僅從日均收入的角度考慮,請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇,并說明理由.
【答案】(I)見解析; (Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系式,而乙公司是分段函數(shù)的關(guān)系式,由此解得;(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列,從而可分別求得數(shù)學(xué)期望,進(jìn)而可得結(jié)論.
詳解:(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為: .
乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為:
(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
122 | 124 | 126 | 128 | 130 | |
0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
120 | 128 | 144 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴僅從日均收入的角度考慮,我會(huì)選擇去乙公司.
點(diǎn)睛:求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:
第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個(gè)值所表示的意義;
第二步是“探求概率”,即利用排列組合,枚舉法,概率公式,求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率;
第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確;
第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點(diǎn).
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn),若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展, 年某網(wǎng)購平臺(tái)“雙”一天的銷售業(yè)績高達(dá)億元人民幣,平臺(tái)對(duì)每次成功交易都有針對(duì)商品和快遞是否滿意的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為,對(duì)快遞的滿意率為,其中對(duì)商品和快遞都滿意的交易為次.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)快遞滿意之間有關(guān)系”?
對(duì)快遞滿意 | 對(duì)快遞不滿意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品滿意 | |||
對(duì)商品不滿意 | |||
合計(jì) |
(2)為進(jìn)一步提高購物者的滿意度,平臺(tái)按分層抽樣方法從中抽取次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳細(xì)了解滿意與否的具體原因,并在這次交易中再隨機(jī)抽取次進(jìn)行電話回訪,聽取購物者意見.求電話回訪的次交易至少有一次對(duì)商品和快遞都滿意的概率.
附: (其中為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長為的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上,滿足, ,點(diǎn)在棱上,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的右支,它的離心率剛好是其對(duì)應(yīng)雙曲線的實(shí)軸長,且一條漸近線方程是,線段是過曲線右焦點(diǎn)的一條弦,是弦的中點(diǎn)。
(1)求曲線的方程;
(2)求點(diǎn)到軸距離的最小值;
(3)若作出直線,使點(diǎn)在直線上的射影滿足.當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求的取值范圍.
(參考公式:若為雙曲線右支上的點(diǎn),為右焦點(diǎn),則.(為離心率))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2-2x,(a∈R,a≠0)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線與x軸平行,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤ax在x∈[,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的棱形,PD⊥底面ABCD.
(1)證明:AC⊥平面PBD;
(2)若PD=AD,直線PB與平面ABCD所成的角為45°,四棱錐P—ABCD的體積為,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)是否存在實(shí)數(shù),使得等式 對(duì)于一切正整數(shù)都成立?若存在,求出,,的值并給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(2)求證:對(duì)任意的,.
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