Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點G為AC的中點．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

（I）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）平面BAE⊥平面DCE．證明見解析.

試題分析：（I）取AB中點M，連FM，GM．由題設易得四邊形GMFE為平行四邊形，從而得EG∥平面ABF；（Ⅱ）顯然轉(zhuǎn)化為求三棱錐E－ABG的體積.注意到平面ABCD⊥平面AFED，故作EN⊥AD，垂足為N，則有EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．由此即可得其體積；（Ⅲ）為了判斷平面BAE、平面DCE是否垂直，首先看看在這兩個面中有哪些線是相互垂直的.由平面ABCD⊥平面AFED，四邊形ABCD為矩形可得，CD⊥平面AFED，從而 CD⊥AE．另外根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷ED⊥AE．由此可知，平面BAE⊥平面DCE．
試題解析：（I）證明：取AB中點M，連FM，GM．

∵G為對角線AC的中點，
∴GM∥AD，且GM=AD，
又∵FE∥AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．
又∵平面ABF，平面ABF，
∴EG∥平面ABF．                       4分
（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足為N，
由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60º，
由EF//AD知∠EAD=60º，
∴EN=AE?sin60º=．
∴三棱錐B-AEG的體積為
．        8分
（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：
∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，
∴CD⊥AE．
∵四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且，
∴．
又在△AED中，EA=2，AD=4，，
由余弦定理，得ED=．
∴EA²+ED²=AD²，
∴ED⊥AE．
又∵ED∩CD=D，
∴AE⊥平面DCE，
又面BAE，
∴平面BAE⊥平面DCE．                     12分