【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽馬中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點(diǎn),作交于點(diǎn),連接
(Ⅰ)證明:.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫
出結(jié)論);若不是,說明理由;
(Ⅱ)若面與面所成二面角的大小為,求的值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
(解法1)(Ⅰ)因?yàn)?/span>底面,所以,
由底面為長方形,有,而,
所以.而,所以.
又因?yàn)?/span>,點(diǎn)是的中點(diǎn),所以.
而,所以平面.而,所以.
又,,所以平面.
由平面,平面,可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,
即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為.
(Ⅱ)如圖1,在面內(nèi),延長與交于點(diǎn),則是平面與平面
的交線.由(Ⅰ)知,,所以.
又因?yàn)?/span>底面,所以.而,所以.
故是面與面所成二面角的平面角,
設(shè),,有,
在Rt△PDB中, 由, 得,
則, 解得.
所以
故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí),.
(解法2)
(Ⅰ)如圖2,以為原點(diǎn),射線分別為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),,則,,點(diǎn)是的中點(diǎn),
所以,,
于是,即.
又已知,而,所以.
因,, 則, 所以.
由平面,平面,可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,
即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為.
(Ⅱ)由,所以是平面的一個(gè)法向量;
由(Ⅰ)知,,所以是平面的一個(gè)法向量.
若面與面所成二面角的大小為,
則,
解得.所以
故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí),.
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