【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,已知, , 于.
(1)求證: ;
(2)若平面平面,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(1)連接,證明,
∴,∵,∴,由此可證平面,即可證明.
(2)由平面,平面平面,
所以, , 兩兩垂直,以為原點(diǎn), , , 分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.根據(jù)空間向量求面面角的方法即可求二面角的余弦值.
(1)連接,
∵, , 是公共邊,
∴,
∴,
∵,∴,
又平面, 平面, ,
∴平面,
又平面,
∴.
(2)
由平面,平面平面,
所以, , 兩兩垂直,以為原點(diǎn), , , 分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
因?yàn)?/span>, , ,
所以, , ,
則, , , , , .
設(shè)平面的法向量為,
則,即,令,則,
又平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)二面角所成的平面角為,
則 ,
顯然二面角是銳角,故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著人口老齡化的到來(lái),我國(guó)的勞動(dòng)力人口在不斷減少,“延遲退休”已經(jīng)成為人們?cè)絹?lái)越關(guān)注的話題,為了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度,某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機(jī)抽取了50人進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數(shù) | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數(shù) | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經(jīng)調(diào)查年齡在[25,30),[55,60)的被調(diào)查者中贊成“延遲退休”的人數(shù)分別是3人和2人.現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人,進(jìn)行跟蹤調(diào)查.
(I)求年齡在[25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率;
(II)若選中的4人中,不贊成“延遲退休”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線(與軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),試證明:直線與軸平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),若對(duì)任意,有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大小.
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,D,E,F分別是邊,,中點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.
C.若,則是在的投影向量
D.若點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,則的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽(yáng)馬中,側(cè)棱底面,且,過(guò)棱的中點(diǎn),作交于點(diǎn),連接
(Ⅰ)證明:.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)
出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若面與面所成二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線:,半徑為2的圓與相切,圓心在軸上且在直線的右上方.
(1)求圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于,兩點(diǎn)(在軸上方),問(wèn)在軸正半軸上是否存在定點(diǎn),使得軸平分?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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