【題目】已知橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程與離心率;
(Ⅱ)設(shè)橢圓上不與點(diǎn)重合的兩點(diǎn), 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線, 分別交軸于, 兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)是定值.
【答案】(1) ;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到方程;(2)先設(shè), 根據(jù)題意得到, ,設(shè)以為直徑的圓與軸交于點(diǎn)和,
所以,即,再由,即,故.
解析:
(Ⅰ)依題意, .
點(diǎn)在橢圓上.所以.
所以.
所以橢圓的方程為.
離心率.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>, 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以可設(shè), ,
所以.
直線: .
當(dāng)時(shí), ,所以.
直線: .
當(dāng)時(shí), ,所以.
設(shè)以為直徑的圓與軸交于點(diǎn)和,(),
所以, , ,
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上,
所以,即.
因?yàn)?/span>,即,
所以,所以.
所以, .所以.
所以以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽馬中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點(diǎn),作交于點(diǎn),連接
(Ⅰ)證明:.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫
出結(jié)論);若不是,說明理由;
(Ⅱ)若面與面所成二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線:,半徑為2的圓與相切,圓心在軸上且在直線的右上方.
(1)求圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與圓交于,兩點(diǎn)(在軸上方),問在軸正半軸上是否存在定點(diǎn),使得軸平分?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)有學(xué)生500人,學(xué)校為了解學(xué)生課外閱讀時(shí)間,從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,收集了他們2018年10月課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,分為5組:[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20],得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)試估計(jì)該校所有學(xué)生中,2018年10月課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)已知這50名學(xué)生中恰有2名女生的課外閱讀時(shí)間在[18,20],現(xiàn)從課外閱讀時(shí)間在[18,20]的樣本對(duì)應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到1名女生的概率;
(Ⅲ)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)該校學(xué)生2018年10月課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為積極響應(yīng)國(guó)家“陽光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召,某學(xué)校在了解到學(xué)生的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況后,發(fā)起以“走出教室,走到操場(chǎng),走到陽光”為口號(hào)的課外活動(dòng)倡議。為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況,從高一高二基礎(chǔ)年級(jí)與高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生中按照4:3:3的比例分層抽樣,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)),得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(1)據(jù)圖估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間.并估計(jì)高一年級(jí)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù);
(2)規(guī)定每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于6小時(shí)記為“優(yōu)秀”,否則為“非優(yōu)秀”,在樣本數(shù)據(jù)中,有30位高三學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于6小時(shí),請(qǐng)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否“優(yōu)秀”與年級(jí)有關(guān)”.
基礎(chǔ)年級(jí) | 高三 | 合計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
合計(jì) | 300 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:K2,n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的半徑為2,圓心在軸的正半軸上,且與直線相切.
(1)求圓的方程。
(2)在圓上,是否存在點(diǎn),使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),且△的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求經(jīng)過直線3x+4y-2=0與直線x-y+4=0的交點(diǎn)P,且垂直于直線x-2y-1=0的直線方程;
(2)求過點(diǎn)P(-1,3),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知=(cosx+sinx,sinx),=(cosx-sinx,2cosx),
(Ⅰ)求證:向量與向量不可能平行;(Ⅱ)若f(x)=·,且x∈時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值及最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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