【題目】如圖,四面體中,分別是的中點,
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)連結(jié),則為的中位線,故,所以 平面.(2)由題設(shè),有,結(jié)合有,而,故平面,我們可以建立空間直角坐標系,計算與平面法向量的夾角的余弦值,也可以通過等積法計算到平面的距離,從而得到線面角的正弦值.
解析:(1)證明:連結(jié),因為分別是的中點,所以,又平面, 平面,所以平面.
(2)法一:連接,因為, ,所以,同理,又,而,所以,所以 ,又因為 ,所以 平面 .
以分別為軸,建立如圖所示的直角坐標系,則 .設(shè)平面的法向量,由, 則有,令,得 .又因為,所以,故直線與平面所成角的正弦值為: .
法二:設(shè)到平面的距離為,由,有,得 ,故直線與平面所成角的正弦值為:
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某兒童節(jié)在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).記兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:
①若xy≤3,則獎勵玩具一個;
②若xy≥8,則獎勵水杯一個;
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻,小亮準備參加此項活動.
(1)求小亮獲得玩具的概率;
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)過動點M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點N,交C于點A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點,過點P作x軸的垂線交C于另一點Q,延長QM交C于點B.
①設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明 為定值;
②求直線AB的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= ,∠ADC=90°,沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′,直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知焦距為2的橢圓W: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為A1 , A2 , 上、下頂點分別為B1 , B2 , 點M(x0 , y0)為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點,且四條直線MA1 , MA2 , MB1 , MB2的斜率之積為 .
(1)求橢圓W的標準方程;
(2)如圖所示,點A,D是橢圓W上兩點,點A與點B關(guān)于原點對稱,AD⊥AB,點C在x軸上,且AC與x軸垂直,求證:B,C,D三點共線.
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