Question

【題目】某河道中過度滋長一種藻類，環(huán)保部門決定投入生物凈化劑凈化水體. 因技術(shù)原因，第t分鐘內(nèi)投放凈化劑的路徑長度 (單位：m)，凈化劑凈化水體的寬度 (單位：m)是時(shí)間t(單位：分鐘)的函數(shù): (由單位時(shí)間投放的凈化劑數(shù)量確定，設(shè)為常數(shù)，且).

（1）試寫出投放凈化劑的第t分鐘內(nèi)凈化水體面積的表達(dá)式；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:（1）根據(jù)題意去掉絕對(duì)值寫出分段函數(shù)的表達(dá)式;（2）當(dāng)40≤t≤60且t∈N*時(shí)，S(t)= 在40≤t≤60時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)t=60時(shí)，S(t)有最小值2a2+120．當(dāng)1≤t＜40且t∈N*時(shí)，S(t)= ≥100+a2+20a；①若a=1或2或3時(shí) S(t)在1≤t＜40范圍中有最小值a2+2a +100．在40≤t≤60時(shí)S(t)有最小值2a2+120．當(dāng)a=1時(shí)，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；當(dāng)a=2或a=3時(shí)，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．②若a≥4且1≤t＜40時(shí)， S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+， S(t)在1≤t≤60時(shí)單調(diào)遞減．當(dāng)t=60時(shí)，S(t)有最小值2a2+120．

試題解析:（1）由題意， .

（2）當(dāng)40≤t≤60且t∈N*時(shí)，S(t)= ，當(dāng)t增加時(shí)減少，

所以S(t)在40≤t≤60時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)t=60時(shí)，S(t)有最小值2a2+120．

當(dāng)1≤t＜40且t∈N*時(shí)，S(t)= ≥100+a2+20a；

①若a=1或2或3時(shí)；當(dāng)t=10a時(shí)，上述不等式中的等號(hào)成立，

S(t)在1≤t＜40范圍中有最小值a2+2a +100．

又在40≤t≤60時(shí)S(t)有最小值2a2+120．

當(dāng)a=1時(shí)，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；

當(dāng)a=2或a=3時(shí)，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．

②若a≥4且1≤t＜40時(shí)，因?yàn)?/span>≤0，

所以S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+，

故S(t)在1≤t≤40中單調(diào)遞減；又S(t)在40≤t≤60時(shí)單調(diào)遞減，

所以S(t)在1≤t≤60時(shí)單調(diào)遞減．

所以，當(dāng)t=60時(shí)，S(t)有最小值2a2+120．

綜上，若a=1，當(dāng)t=10時(shí)，S(t)有最小值121；即第10天的銷售額最少，為121千元．

若a≥4且a∈N*，當(dāng)t=60時(shí)，S(t)有最小值2a2+120．