Question

【題目】定義：若一個函數(shù)存在極大值，且該極大值為負數(shù)，則稱這個函數(shù)為“函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，、，求證：當，且時，函數(shù)是“函數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）是“函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值，結(jié)合題中定義判斷即可；

（2）分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用題中定義得出關(guān)于的不等式，進而可解得實數(shù)的取值范圍；

（3）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，設函數(shù)的極值點分別為、，可知、是方程的兩根，進而可列出韋達定理，結(jié)合韋達定理證明出函數(shù)的極大值為負數(shù)，由此可證得結(jié)論.

（1）函數(shù)是“函數(shù)”，理由如下：

因為，則，

當時，；當時，，

所以函數(shù)的極大值，故函數(shù)是“函數(shù)”；

（2）函數(shù)的定義域為，.

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，無極大值，不滿足題意；

當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為，

易知，解得，

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3） ，因為，，則，

所以有兩個不等實根，設為、，

因為，所以，，不妨設，

當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的極大值為，

由得，

因為，，

所以

．

所以函數(shù)是“函數(shù)”．