已知橢圓C:(a>b>0),則稱以原點為圓心,r=的圓為橢圓C的“知己圓”。
(Ⅰ)若橢圓過點(0,1),離心率e=;求橢圓C方程及其“知己圓”的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若過點(0,m)且斜率為1的直線截其“知己圓”的弦長為2,求m的值;
(Ⅲ)討論橢圓C及其“知己圓”的位置關系.

(1)(2)  
(3)當r=c<b時,該橢圓C的“知己圓”與橢圓沒有公共點,圓在橢圓內(nèi);  12分
當r=c=b時,該橢圓C的“知己圓”與橢圓有兩個公共點,交點是(0,1)和(0,-1);
當r=c>b時,該橢圓C的“知己圓”與橢圓有四個公共點。

解析試題分析:(Ⅰ)∵ 橢圓C過點(0,1),由橢圓性質(zhì)可得:b=1;
又∵橢圓C的離心率e=,即,且       2分
∴ 解得
∴所求橢圓C的方程為:                         4分
又∵
∴ 由題意可得橢圓C的“知己圓”的方程為:            6分
(Ⅱ)過點(0,m)且斜率為1的直線方程為y="x+m" 即:x-y+m=0
設圓心到直線的距離為d,則d=           8分
∴d=    解得:m=                          10分
(Ⅲ)∵稱以原點為圓心,r=的圓為橢圓C的“知己圓”,此時r=c
∴ 當r=c<b時,該橢圓C的“知己圓”與橢圓沒有公共點,圓在橢圓內(nèi);  12分
當r=c=b時,該橢圓C的“知己圓”與橢圓有兩個公共點,交點是(0,1)和(0,-1);
當r=c>b時,該橢圓C的“知己圓”與橢圓有四個公共點。            14分
考點:橢圓的性質(zhì)
點評:主要是考查了橢圓的幾何性質(zhì)以及新定義的理解和運用,屬于中檔題。

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,,若且橢圓的離心率,又橢圓經(jīng)過點,
為坐標原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
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