【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與函數(shù)在點處有共同的切線,求的值;
(2)證明: ;
(3)若不等式對所有, 都成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)t=2;(2)證明見解析;(3) .
【解析】試題分析:
(1)由題意可知: ,據(jù)此得到關于實數(shù)t的方程,解方程可得:t=2;
(2)構造新函數(shù),結合導函數(shù)討論函數(shù)的最大值即可證得題中的結論;
(3)將原問題轉化為對所有的, 都成立,討論函數(shù), 的性質,結合函數(shù)的性質可得實數(shù)的取值范圍是.
試題解析:
(1), ,
∵與在點處有共同的切線,
∴,即.
(2)令,則,
則在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),
∴的最大值為,∴的最小值是1.
設, ,
故在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,
∴.
(3)不等式對所有的, 都成立,
則對所有的, 都成立,
令, , 是關于的一次函數(shù),
∵,∴,∴當時, 取得最小值,
即,當時,恒成立,故.
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【題目】已知a>0且滿足不等式22a+1>25a﹣2 .
(1)求實數(shù)a的取值范圍.
(2)求不等式loga(3x+1)<loga(7﹣5x).
(3)若函數(shù)y=loga(2x﹣1)在區(qū)間[1,3]有最小值為﹣2,求實數(shù)a值.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點O為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線L:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點,且kOAkOB=﹣ ,求證:△AOB的面積為定值.
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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,+∞)單調遞增的函數(shù)是( )
A.y=﹣x2
B.y=2﹣|x|
C.y=| |
D.y=lg|x|
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【題目】命題P:將函數(shù)sin2x的圖象向右平移 個單位得到函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象;命題Q:函數(shù)y=sin(x+ )cos( ﹣x)的最小正周期是π,則復合命題“P或Q”“P且Q”“非P”為真命題的個數(shù)是個.
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【題目】(選修4-4 坐標系與參數(shù)方程) 以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設曲線C的參數(shù)方程為 (是參數(shù)),直線的極坐標方程為.
(1)求直線的直角坐標方程和曲線C的普通方程;
(2)設點P為曲線C上任意一點,求點P到直線的距離的最大值.
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【題目】小王在年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬元,假定該車每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25-x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).
(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑,該車運輸累計收入超過總支出?
(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)?
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【題目】已知拋物線C: ,過點的動直線l與C相交于兩點,拋物線C在點A和點B處的切線相交于點Q.
(Ⅰ)寫出拋物線的焦點坐標和準線方程;
(Ⅱ)求證:點Q在直線上;
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【題目】已知直線l: (t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的坐標方程為ρ=2cosθ.
(1)將曲線C的極坐標方程化為直坐標方程;
(2)設點M的直角坐標為(5, ),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA||MB|的值.
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