Question

已知不等式x²-x-m+1＞0．
（1）當(dāng)m=3時(shí)解此不等式；
（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，此不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=3時(shí)，不等式x²-x-2＞0，解可得答案；
（2）不等式x²-x-m+1＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，設(shè)y=x²-x-m+1，再利用大于0恒成立須滿足的條件：開(kāi)口向上，判別式小于0來(lái)解m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，
不等式x²-x-2＞0
解得：x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）
（2）設(shè)y=x²-x-m+1
∵不等式x²-x-m+1＞0對(duì)于任意的x都成立
∴對(duì)?x∈R，y＞0恒成立
∴△=1²+4（m-1）＜0
∴m∈(-∞，

3

4

)
故實(shí)數(shù)m的取值范圍m∈(-∞，

3

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題．本題的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”，先將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問(wèn)題，再利用二次函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)解決問(wèn)題．