【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足Sn=n2﹣4n,數(shù)列{bn}中,b1= 對任意正整數(shù)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在實(shí)數(shù)μ,使得數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列?若存在,請求出實(shí)數(shù)μ及公比q的值,若不存在,請說明理由;
(3)求證:

【答案】
(1)解:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=﹣3,

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn1=n2﹣4n﹣(n﹣1)2+4(n﹣1),

即an=2n﹣5,

n=1也適合,所以an=2n﹣5


(2)解:法一:

假設(shè)存在實(shí)數(shù)μ,使數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列,且公比為q.

因?yàn)閷θ我庹麛?shù) , ,

可令n=2,3,得 b2= ,b3=﹣

因?yàn)閧3nbn+μ}是等比數(shù)列,所以 = ,解得 μ=﹣

從而 = = =﹣3 (n≥2)

所以存在實(shí)數(shù)μ=﹣ ,公比為q=﹣3.

法二:因?yàn)閷θ我庹麛?shù) .所以

設(shè)3nbn+μ=﹣3(3n1bn1+μ),則﹣4μ=1,

所以存在 ,且公比


(3)證明:因?yàn)閍2=﹣1,a3=1,所以 , ,

所以 ,即

于是b1+b2+…+bn= + + +… = = =

當(dāng)是奇數(shù)時(shí):b1+b2+…+bn= ,關(guān)于遞增,

≤b1+b2+…+bn

當(dāng)是偶數(shù)時(shí):b1+b2+…+bn= ,關(guān)于遞增,

≤b1+b2+…+bn

綜上, ≤b1+b2+…+bn


【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=﹣3,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn1 , 可得an . (2)法一:假設(shè)存在實(shí)數(shù)μ,使數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列,且公比為q.因?yàn)閷θ我庹麛?shù) , ,可令n=2,3,得 b2 , b3 . 根據(jù){3nbn+μ}是等比數(shù)列,可得: = ,解得 μ,代入可得 =﹣3 (n≥2)即可證明. 法二:因?yàn)閷θ我庹麛?shù) .所以 ,設(shè)3nbn+μ=﹣3(3n1bn1+μ),可得﹣4μ=1,即可證明.(3)由a2=﹣1,a3=1,可得 , ,可得 ,即 ,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.對n分類討論,利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明.

練習(xí)冊系列答案
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②A1P∥平面ACD1
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD1
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若身高在175cm以上(包括175cm)定義為“高個子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個子”,且只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”。

(1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少?

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某港灣的平面示意圖如圖所示, , , 分別是海岸線上的三個集鎮(zhèn), 位于的正南方向6km處, 位于的北偏東方向10km處.

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