Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a2=8，S4=40．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 且Tn﹣2bn+3=0，n∈N* ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn= ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由題意，得，
解得，
∴an=4n，
∵Tn﹣2bn+3=0，∴當(dāng)n=1時(shí)，b1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，
兩式相減，得bn=2bn﹣1 ， （n≥2）
則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，
∴；
（Ⅱ） ．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Pn=（a1+a3+…+an﹣1）+（b2+b4+…+bn）
=．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
（法一）n﹣1為偶數(shù)，Pn=Pn﹣1+cn=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an﹣2+an）+（b2+b4+…+bn﹣1）
=．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，根據(jù)條件列方程，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)an ， 運(yùn)用n=1時(shí)，b1=T1 ， n＞1時(shí)，bn=Tn﹣Tn﹣1 ， 求出bn；
（Ⅱ）寫出cn ， 然后運(yùn)用分組求和，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別應(yīng)用求和公式化簡(jiǎn)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)的理解，了解在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列．