【題目】已知圓的圓心為,點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的重直平分線與半徑相交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)給定點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡相交于兩點(diǎn)(均不同于點(diǎn)).證明:直線與直線的斜率之積為定值.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及橢圓的定義,即可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)不過(guò)點(diǎn),則斜率存在,設(shè)出直線的方程,聯(lián)立橢圓方程,設(shè)而不解,利用韋達(dá)定理,將直線與直線的斜率之積表示出來(lái)并化簡(jiǎn),證得定值.
解:(1)如圖,由已知,圓心,半徑.
∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上,則,又,
,又,
,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),
長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,從而,
故所求軌跡方程為.
(2)由已知,直線過(guò)點(diǎn),且不過(guò)點(diǎn),則斜率存在,
設(shè),將其代入得
,則成立,
設(shè),則,
顯然
設(shè)直線與直線的斜率分別為,則
,
即直線與直線的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),向量,,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于,兩點(diǎn)(在,之間).設(shè),直線的傾斜角,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為圓的圓心.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),交圓于兩點(diǎn),在第一象限,在第四象限.
(1)求拋物線的方程;
(2)是否存在直線使是與的等差中項(xiàng)?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,邊,,分別是角,,的對(duì)邊,已知且,.
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求的內(nèi)切圓方程;
(2)為內(nèi)切圓上任意一點(diǎn),求的最大值與最小值.
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【題目】已知橢圓:過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,且線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,以F為圓心,3p為半徑的圓交拋物線E于P,Q兩點(diǎn),以線段PF為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,﹣1),則點(diǎn)F到直線PQ的距離為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某摩托車生產(chǎn)企業(yè),上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛,出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛,年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤(rùn)=(出廠價(jià)﹣投入成本)×年銷售量.
(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;
(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加,問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)圓C與兩圓,中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切.
(1)求C的圓心軌跡L的方程;
(2)已知點(diǎn),,且P為L上動(dòng)點(diǎn),求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】輥?zhàn)邮强图覀鹘y(tǒng)農(nóng)具,南方農(nóng)民犁開田地后,仍有大的土塊.農(nóng)人便用六片葉齒組成輥軸,兩側(cè)裝上木板,人跨開兩腳站立,既能掌握平衡,又能增加重量,讓牛拉動(dòng)輥軸前進(jìn),壓碎土塊,以利于耕種.這六片葉齒又對(duì)應(yīng)著菩薩六度,即布施持戒忍辱精進(jìn)禪定與般若.若甲乙每人依次有放回地從這六片葉齒中隨機(jī)取一片,則這兩人選的葉齒對(duì)應(yīng)的“度”相同的概率為______.
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