【題目】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）過作，易證，再證明即可； （2）以為坐標原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，用向量坐標法求解即可.

（1）證明：如圖，過作，則

且，

又，，

∴四邊形為平行四邊形，則，

由，為中點，得為中點，而為中點，

∴，，則四邊形為平行四邊形，則，

∴，

∵平面，平面，

∴平面

（2）解：以為坐標原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

設平面的一個法向量為，

由，取，得，

又平面的一個法向量為，

∴

因為

.

∴二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在幾何體中，平面底面ABC，四邊形是正方形，，Q是的中點，且，．

求證：平面；

求二面角的余弦值．

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【題目】如圖，在三棱錐中， ,平面 平面， 、分別為、的中點．

(1)求證： 平面；

(2)求證： ；

(3)求三棱錐的體積．

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【題目】平面上有12個點,且任意三點不共線,以其中任意一點為始點,另一點為終點作向量,且作出所有的向量.其中3邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這些點為頂點的“零三角形”個數(shù)的最大值.

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【題目】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產品需要費用50元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】為了解使用手機是否對學生的學習有影響，某校隨機抽取100名學生，對學習成績和使用手機情況進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示（不完整）：

使用手機

不使用手機

總計

學習成績優(yōu)秀

10

40

學習成績一般

30

總計

100

（Ⅰ）補充完整所給表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計算是否有99.9%的把握認為學生的學習成績與使用手機有關；

（Ⅱ）現(xiàn)從上表不使用手機的學生中按學習成績是否優(yōu)秀分層抽樣選出6人，再從這6人中隨機抽取3人，記這3人中“學習成績優(yōu)秀”的人數(shù)為，試求的分布列與數(shù)學期望.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現(xiàn)對名小學六年級學生進行了問卷調查，并得到如下列聯(lián)表．平均每天喝以上為“常喝”，體重超過為“肥胖”．

常喝

不常喝

合計

肥胖

2

不肥胖

18

合計

30

已知在全部人中隨機抽取人，抽到肥胖的學生的概率為．

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；

（2）是否有的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關?請說明你的理由；

（3）已知常喝碳酸飲料且肥胖的學生中恰有2名女生，現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學生中隨機抽取2人參加一個有關健康飲食的電視節(jié)目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】齊王有上等,中等,下等馬各一匹；田忌也有上等,中等,下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽,若有優(yōu)勢的馬一定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】如果一個正整數(shù)n在三進制下的各位數(shù)字之和能被3整除，則稱n為“恰當數(shù)”。求S={1,2,...,2005}中全體恰當數(shù)之和。

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