Question

【題目】如果一個(gè)正整數(shù)n在三進(jìn)制下的各位數(shù)字之和能被3整除，則稱n為“恰當(dāng)數(shù)”。求S={1,2,...,2005}中全體恰當(dāng)數(shù)之和。

Answer 1

【答案】671007

【解析】

對(duì)m∈N，在三進(jìn)制下不超過m+1位的非負(fù)整數(shù)共有個(gè)，設(shè)其中數(shù)字和模3余0、余1、余2的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為.當(dāng)m≥1時(shí)，將數(shù)字和模3余0的數(shù)按其首位是0、1、2分類(將不足m+1位的非負(fù)整數(shù)前面添上一些0而變成m+1位，以下仿此)，易得

.

同理，.

于是，.

又顯然，故對(duì)m∈N，恒有.從而，在三進(jìn)制下不超過m+1位的恰當(dāng)數(shù)共有個(gè).

對(duì)m∈N在三進(jìn)制下不超過m+1位的個(gè)非負(fù)整數(shù)中，設(shè)數(shù)字和模3余0、余1、余2的數(shù)的和分別為，則等于這個(gè)數(shù)之和，

即.

當(dāng)m≥1時(shí)， 個(gè)數(shù)字和模3余0的數(shù)中，首位為0的個(gè)的和，首位為1的個(gè)的和為，首位為2的個(gè)的和為.

則

.

從而，在三進(jìn)制下不超過m+1位的個(gè)恰當(dāng)數(shù)之和為.

由于2005=為7位數(shù)，而由前面的分析知，不超過7位的正整數(shù)中，恰當(dāng)數(shù)共有個(gè)，和為，這個(gè)和中包括了不超過而大于的恰當(dāng)數(shù)共60個(gè).將這60個(gè)數(shù)從小到大排列為

易算出這60個(gè)數(shù)之和為

.

故=(1,2,...,2005)中全體恰當(dāng)數(shù)之和為796797-125790=671007.