【題目】平面上有12個點,且任意三點不共線,以其中任意一點為始點,另一點為終點作向量,且作出所有的向量.其中3邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這些點為頂點的“零三角形”個數(shù)的最大值.
【答案】70
【解析】
設(shè)這12個點分別為,這12個點確定的三角形共有個.設(shè)以
為始點的向量數(shù)為.若以某3點為頂點的三角形為“非零三角形”,則有且僅有1點是此三角形兩邊向量的始點,所以,以,為頂點之一且為兩邊始點的非零三角形”有個(規(guī)定).從而,以這些點為頂點的三角形中,“非零三角形的總數(shù)為.
因此,“零三角形”的個數(shù)為
先求的最小值
因為所以
因非負(fù)整數(shù)不超過11,故有最小值
若存在,使得可記.
顯然,則
.
又,則對于所有的下,只有當(dāng)或1時, 才取最小值即當(dāng)時, 取最小值.
所以, 的最小值為.
因此“零三角形”個數(shù)的最大值為.
注:此題中,因為,所以,不能用均值不等式求的最小值.故此最小值不為.
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【題目】一個袋中有4個大小相同的小球,其中紅球1個,白球2個,黑球1個,現(xiàn)從袋中有放回地取球,每次隨機(jī)取一個,求
(1)連續(xù)取兩次都是白球的概率;
(2)若取一個紅球記2分,取一個白球記1分,取一個黑球記0分,連續(xù)取三次分?jǐn)?shù)之和為4分的概率.(本小題基本事件總數(shù)較多不要求列舉,但是所求事件含的基本事件要列舉)
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【題目】平面內(nèi)一個整點的有限集稱為一個雙鄰集,如果對內(nèi)每個點,恰有點、、、中的兩點在內(nèi).問對怎樣的正整數(shù),存在一個雙鄰集恰包含個整點?
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,若橢圓經(jīng)過點,且的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與以原點為圓心,半徑為的圓交于,兩點,與橢圓交于,兩點,且,當(dāng)取得最小值時,求直線的方程.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)若直線l與圓相切,求的值;
(2)若直線l與曲線(為參數(shù))交于A,B兩點,點,求.
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【題目】已知下列說法:①對于線性回歸方程,變量增加一個單位時,平均增加5個單位;②在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)越接近于1,則模型回歸效果越好;③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)就越接近1;④互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件;⑤演繹推理是從特殊到一般的推理,它的一般模式是“三段論”.其中說法錯誤的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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