【題目】如圖所示,是正方形所在平面外一點(diǎn),在面上的投影為,,有以下四個命題:

1

2中點(diǎn),且

3)以,作為鄰邊的平行四邊形面積是32;

4的內(nèi)切球半徑為.

其中正確命題的個數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

(1)先證,再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證結(jié)論正確;

(2)通過證明,可得垂直平分,同理可得點(diǎn)在線段的垂直平分線上,從而可得為正方形的中心,在中可求得,可知(2)正確;

(3)利用平行四邊形的面積公式求得面積為16,所以(3)錯誤;

(4)利用可求得內(nèi)切球的半徑為,所以(4)錯誤.

解:(1)如圖,連接,

在平面上的投影為,∴,

又∵,∴,

為正方形,∴,

,∴.

又∵,,∴,

所以(1)正確;

(2)連接、,

,,∴為正三角形,∴,

,,

,即,

又∵,

,∴,

∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上,

,,

,∴垂直平分.

同理可證點(diǎn)在線段的垂直平分線上,

為正方形的中心,

,∴

又∵,,

中,,

,

所以(2)正確.;

(3)由(2)知,

作為鄰邊的平行四邊形的面積為,

所以,(3)錯誤.

(4)∵為正方形,在底面的投影為正方形的中心,

為正四棱錐,

設(shè)正四棱錐內(nèi)切球球心為,半徑為,如圖所示:

則:

又∵.

,

,

.

所以(4)正確.

故選:C

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