Question

（2012•肇慶一模）已知△ABC的面積為2

2

，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=3，b=4，0＜C＜90°．
（1）求sin（A+B）的值；   
（2）求cos(2C+

π

4

)的值；
（3）求向量

CB

，

AC

的數(shù)量積

CB

•

AC

．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由a=3，b=4，

1

2

absinC=2

2

，可求得sinC=

2

3

，從而可得sin（A+B）的值；
（2）由sinC=

2

3

，0＜C＜90°可求cosC，從而可求得sin2C，由二倍角的余弦公式可求得cos2C，最后利用兩角和的余弦公式即可求得cos（2C+

π

4

）；
（3））|

CB

|=a=3，|

AC

|=b=4，設(shè)向量

CB

與

CA

所成的角為θ，則θ=180°-C，利用向量的數(shù)量積即可求得

CB

•

AC

．

解答：解：（1）由

1

2

absinC=2

2

，即

1

2

×3×4sinC=2

2

，得sinC=

2

3

．（2分）
∵A+B=180°-C，
∴sin（A+B）=sin（180°-C）=sinC=

2

3

（4分）
（2）由（1）得sinC=

2

3

，∵0＜C＜90°，
∴cosC=

1-sin2C

=

1-( 2 3 )2

=

7

3

（5分）
∴cos2C=2cos²C-1=2×(

7

3

)2-1=

5

9

．（6分）
∴sin2C=2sinCcosC
=2×

2

3

×

7

3

=

2 14

9

（7分）
∴cos（2C+

π

4

）=cos2Ccos

π

4

-sin2Csin

π

4

=

5

9

×

2

2

-

2 14

9

×

2

2

=-

5 2 -4 7

18

．（9分）
（3）∵|

CB

|=a=3，|

AC

|=b=4，（10分）
設(shè)向量

CB

與

CA

所成的角為θ，則θ=180°-C（11分）
∴

CB

•

AC

=|

CB

|•|

AC

|cosθ
=abcos（180°-C）
=-abcosC
=-3×4×

7

3

=-4

7

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系與兩角和與差的余弦，并以三角形為載體考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，突出運(yùn)算能力的考查，屬于難題．