(2012•肇慶一模)已知四棱錐P-ABCD如圖1所示,其三視圖如圖2所示,其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形,俯視圖是矩形.
(1)求此四棱錐的體積;
(2)若E是PD的中點,求證:AE⊥平面PCD;
(3)在(2)的條件下,若F是PC的中點,證明:直線AE和直線BF既不平行也不異面.
分析:(1)由三視圖可知:PA⊥底面ABCD,PA=2,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形,據(jù)此即可得出四棱錐的體積;
(2)由三視圖可知,PA⊥平面ABCD,利用線面垂直的性質(zhì)可得:CD⊥PA;利用ABCD是正方形,可得CD⊥AD,利用線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD,再利用其性質(zhì)可得CD⊥AE,利用等腰三角形的性質(zhì)可得AE⊥PD,再利用線面垂直的判定即可證明;
(3)利用三角形的中位線定理可得:EF∥CD且EF=
1
2
CD
,進(jìn)而得到EF∥AB且EF=
1
2
AB
,據(jù)此得到:四邊形ABFE是梯形,AE,BF是梯形的兩腰,故AE與BF所在的直線必相交.
解答:(1)解:由題意可知,PA⊥底面ABCD,
四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形,其面積SABCD=2×2=4,高h(yuǎn)=2,
所以VP-ABCD=
1
3
SABCD•h=
1
3
×4×2=
8
3

(2)證明:由三視圖可知,PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA,
∵ABCD是正方形,∴CD⊥AD,
又PA∩AD=A,PA?平面ABCD,AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD,
∵AE?平面PAD,∴AE⊥CD,
又△PAD是等腰直角三角形,E為PD的中點,
∴AE⊥PD,
又PD∩CD=D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,
∴AE⊥平面PCD.
(3)證明:∵E,F(xiàn)分別是PD,PC的中點,∴EF∥CD且EF=
1
2
CD

又∵CD∥AB且CD=AB,∴EF∥AB且EF=
1
2
AB
,
∴四邊形ABFE是梯形,AE,BF是梯形的兩腰,故AE與BF所在的直線必相交.
所以,直線AE和直線BF既不平行也不異面.
點評:本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識與基本技能,考查了空間想象能力、推理能力和計算能力.
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