Question

如圖,

在平面直角坐標(biāo)系中,方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.

(1)求證:F<0.

(2)若四邊形ABCD的面積為8,對角線AC的長為2,且·=0,求D2+E2-4F的值.

(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點(diǎn)O,G,H是否共線,并說明理由.

 

Answer 1

(1)見解析 (2)64 (3) O,G,H三點(diǎn)必定共線，理由見解析

【解析】(1)方法一:由題意,原點(diǎn)O必定在圓M內(nèi),即點(diǎn)(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左邊所得的值小于0,于是有F<0,即證.

方法二:由題意,不難發(fā)現(xiàn)A,C兩點(diǎn)分別在x軸正、負(fù)半軸上.設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a,0),C(c,0),則有ac<0.對于圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,當(dāng)y=0時,可得x2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo),于是有xAxC=ac=F.

因?yàn)?/span>ac<0,故F<0.

(2)不難發(fā)現(xiàn),對角線互相垂直的四邊形ABCD的面積S=,因?yàn)?/span>S=8,|AC|=2,可得|BD|=8.

又因?yàn)?/span>·=0,所以∠BAD為直角,又因?yàn)樗倪呅问菆AM的內(nèi)接四邊形,故|BD|=2r=8⇒r=4.

對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圓,

可知+-F=r2,所以D2+E2-4F=4r2=64.

(3)設(shè)四邊形四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,),即=(,).

又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G,O,H三點(diǎn)共線,只需證·=0即可.

而·=,且對于圓M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,

當(dāng)y=0時可得x2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo),

于是有xAxC=ac=F.

同理,當(dāng)x=0時,可得y2+Ey+F=0,其中方程的兩根分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D的縱坐標(biāo),于是有yByD=bd=F.

所以·==0,即AB⊥OG.

故O,G,H三點(diǎn)必定共線.