Question

已知雙曲線

x2

m

-

y2

m2+4

=1的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2

2

，則此雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出a=

m

、b=

m2+4

、c=

m2+m+4

，從而求出雙曲線的漸近線方程為

m2+4

x±

m

y=0，右焦點(diǎn)為F（

m2+m+4

，0）．根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線的距離為2

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于m的等式，解出m=2進(jìn)而得出a=

2

，c=

10

，可得此雙曲線的離心率．

解答：解：∵雙曲線

x2

m

-

y2

m2+4

=1中，a²=m，b²=m²+4，
∴a=

m

，b=

m2+4

，c=

a2+b2

=

m2+m+4

，
雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，
即y=±

m2+4 m

x，化簡(jiǎn)得

m2+4

x±

m

y=0．
∵雙曲線的右焦點(diǎn)F（

m2+m+4

，0）到其漸近線的距離為2

2

，
∴

| m2+4 • m2+m+4 ± m •0|

m2+4+m

=2

2

，即

m2+4

=2

2

，解得m=2（舍負(fù)）．
由此可得a=

m

=

2

，c=

m2+m+4

=

10

，
此雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

．
故答案為：

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)的雙曲線方程，在已知右焦點(diǎn)到漸近線距離的情況下求此雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．