【題目】現(xiàn)有一張半徑為的圓形鐵皮,從中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖陰影部分),并卷成一個(gè)深度為的圓錐筒,如圖.
(1)若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為,求圓錐筒的容積;
(2)當(dāng)為多少時(shí),圓錐筒的容積最大?并求出容積的最大值.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),圓錐筒的容積的最大值為.
【解析】
(1)計(jì)算出扇形的弧長(zhǎng),利用扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)可求出圓錐底面圓的半徑,利用勾股定理計(jì)算出圓錐的高,再利用圓錐的體積公式可計(jì)算出圓錐的容積;
(2)利用勾股定理得出圓錐的底面半徑為,可得出,利用圓錐的體積公式計(jì)算出圓錐的容積關(guān)于的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)可求出的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的的值.
設(shè)圓錐筒的半徑為,容積為.
(1)由,得,從而,
所以.
答:圓錐筒的容積為;
(2)因?yàn)?/span>,.
所以,即,.
因?yàn)?/span>,令得,(舍負(fù)值),列表如下:
極大值 |
所以,當(dāng)時(shí),取極大值即最大值,且的最大值為.
答:當(dāng)時(shí),圓錐筒的容積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(、都在軸上方),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論如何變化,直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)試求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上,是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
①求證:直線恒過(guò)定點(diǎn);
②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn),試求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明其軌跡是何種曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為軸,焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在圓上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段,為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段的中點(diǎn)形成軌跡.
(1)求軌跡的方程;
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),為曲線上一動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)試求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上,是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
①求證:直線恒過(guò)定點(diǎn);
②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn),試求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明其軌跡是何種曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓(),圓(),若圓的一條切線與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)當(dāng), 時(shí),若點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上,求橢圓的方程;
(2)若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),探究是否滿足,并說(shuō)明理由.
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