Question

【題目】在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)形成軌跡．

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）；

（2）面積最大為．

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由為線段的中點(diǎn)得到的坐標(biāo)，把的坐標(biāo)代入圓整理得線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓，求出的長(zhǎng)；設(shè)過(guò)且與直線平行的直線為，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，兩直線的距離取最大，求出，和兩平行直線間的距離，再由面積公式，即可得到最大值．

設(shè)，由題意，

為線段的中點(diǎn)，

即

又在圓上，

，即，

所以軌跡為橢圓，且方程為.

聯(lián)立直線和橢圓，

得到，即

即有

設(shè)過(guò)且與直線平行的直線為，

當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，兩直線的距離取最大，

將代入橢圓方程得：

由相切的條件得

解得，

則所求直線為或，

故與直線的距離為，

則的面積的最大值為.