Question

（2013•綿陽一模）已知數列{a_n}是等比數列且a₃=

1

4

，a₆=2．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若數列{a_n}滿足b_n=3log₂a_n，且數列{b_n}的前“項和為T_n，問當n為何值時，T_n取最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中數列{a_n}是等比數列且a₃=

1

4

，a₆=2．求出數列的公比，易得數列的通項
（II）根據（I）及b_n=3log₂a_n，可得數列{b_n}的通項公式，進而結合二次函數的性質，及n∈N⁺，可求出當n為何值時，T_n取最小值．

解答：解：（Ⅰ）設公比為q，由已知a₆=2，a₃=

1

4

，得a₁q⁵=2，a₁q²=

1

4

，
兩式相除得q³=8，解得q=2，a₁=

1

16

，
∴a_n=

1

16

×2^n-1=2^n-5
（Ⅱ）b_n=3log₂a_n=3log₂（2^n-5）=3n-15，
∴T_n=

3

2

n2-

27

2

n，
又∵n∈N⁺
當n=4或5時，T_n取得最小值，最小值為-30

點評：本題考查的知識點是數列求和，等比數列的通項公式，其中分別求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式是解答的關鍵．