Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，探究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）①證明：；

②當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)證明；②見(jiàn)證明

【解析】

（1）利用導(dǎo)函數(shù)對(duì)a進(jìn)行討論判斷即可．
（2）①對(duì)所證函數(shù)化簡(jiǎn)，即證明，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，求解最值問(wèn)題即可證明；②用（1）的結(jié)論，求出零點(diǎn)，得出單調(diào)性，計(jì)算最值，然后用進(jìn)行替換，然后用去掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次式，代入即可證明.

（1）解：，定義域?yàn)?/span>.

二次函數(shù)的判別式為，對(duì)稱軸為.

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，判別式為，

所以在上有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，

①，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；

②，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；

③，即時(shí)，在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)；

（2）①要證明：，只需要證明：.

令，定義域?yàn)?/span>，，

所以，不難得到的最大值為，所以成立；

②由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；設(shè)零點(diǎn)為，

則，解得，，

進(jìn)一步，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以

（※）

由（2）①得，

（※） .