Question

（2012•眉山二模）數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設等差數列{b_n}各項均為正數，滿足b₁+b₂+b₃=18，且a₁+b₁+2，a₂+b₂，a₃+b₃-3成等比數列，證明：

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）由

an+1=2Sn+n+1 an=2Sn-1+n

，得a_n+1=3a_n+n，n≥2，故數列{a_n+

1

2

}是首項為

3

2

，公比為3的等比數列．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b₁+b₂+b₃=18，得b₂=6，設{b_n}的公差為d，且d＞0，得（9-d）（16+d）=100，故bn=4n-2，(n∈N*)．再由

1

anbn

=

1

(2n-1)(3n-1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．由此能夠證明

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

6

．

解答：解：（1）由

an+1=2Sn+n+1 an=2Sn-1+n

，
得a_n+1=3a_n+n，n≥2，
∴a_n+1+

1

2

=3(an+

1

2

)，（3分）
又a2+

1

2

=4+

1

2

=3(a1+

1

2

)也滿足上式，
∴數列{a_n+

1

2

}是首項為

3

2

，公比為3的等比數列．
∴an+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，
∴an=

1

2

(3n-1)，(n∈N*)．
（2）∵等差數列{b_n}各項均為正數，滿足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，設{b_n}的公差為d，且d＞0，
依題意可得9-d，10，16+d成等比數例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴bn=4n-2，(n∈N*)．（8分）
∴當n≥2時，

1

anbn

=

1

(2n-1)(3n-1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1

)＜

1

2

×

1

3

=

1

6

．
∴

1

a2b2

+

1

a3b3

+…+

1

anbn

＜

1

6

．（12分）

點評：本題考查數列通項公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的前n基和公式、通項公式的靈活運用．