Question

（2012•眉山二模）設函數f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數．
（1）當b＞

1

2

時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）當b≤0時，求f（x）的極值點并判斷是極大值還是極小值；
（3）求證對任意不小于3的正整數n，不等式

1

n2

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（1）先確定f（x）的定義域，求出f（x）的導函數，進而導函數大于0，可得函數在定義域內單調遞增；
（2）令f（x）的導函數等于0，求出此時符合定義域的解，然后利用這個解把（0，+∞）分成兩段，討論導函數的正負得到函數f（x）的增減性，根據f（x）的增減性即可得到函數的唯一極小值；
（3）確定f（x）在（0，

1+ 3

2

）為減函數，根據當n≥3時，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，可得當n≥3時，恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

；令函數h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），則x∈[1，+∞）時，h（x）為增函數，由此可知結論成立．

解答：（1）解：由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

∴當b＞

1

2

時，f'（x）＞0，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）解：當b≤0時，f′（x）=0有兩個不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∵x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0，x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1，∴舍去x₁，
此時 f'（x），f（x）隨x在在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：b≤0時，f（x）有惟一極小值點x2=

1

2

+

1-2b

2

，
（3）證明：由（2）可知當b=-1時，函數f（x）=（x-1）2-lnx，此時f（x）有惟一極小值點：x=

1+ 3

2

且x∈（0，

1+ 3

2

）時，f'（x）＜0，f（x）在（0，

1+ 3

2

）為減函數．
∵當n≥3時，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

∴恒有f（1）＞f（1+

1

n

），即恒有0＞

1

n2

-ln（1+

1

n

）=

1

n2

-[ln（n+1）-lnn]．
∴當n≥3時，恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

令函數h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h′（x）=

x-1

x

∴x＞1時，h′（x）＞0，又h（x）在x=1處連續(xù)，
∴x∈[1，+∞）時，h（x）為增函數
∵n≥3時，1＜1+

1

n

，∴h（1+

1

n

）＞h（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴l(xiāng)n（n+1）-lnn=ln（1+

1

n

）＜

1

n

綜上，對任意不小于3的正整數n，不等式

1

n2

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

都成立．

點評：本題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調性，并根據函數的單調性得到函數的極值，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題，有一定的難度．