Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（0，1），橢圓上點到焦點的最遠距離為2+

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）過（1，0）點的直線L與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點A′（A′與B不重合），求證直線A′B與x軸交于一個定點，求此點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（0，1），橢圓上點到焦點的最遠距離為2+

3

，建立方程組，結合b²=a²-c²，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設出點的坐標，直線AB的方程，代入橢圓方程，可得直線A′B的方程，利用韋達定理，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（0，1），橢圓上點到焦點的最遠距離為2+

3

，
∴

b=1 a+c=2+ 3

∵b²=a²-c²
∴a-c=2-

3

∴a=2
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）證明：設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（x₁，-y₁），
直線AB的方程代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-8k²x+k²-4=0
∴x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

又直線A′B的方程為y-y₂=

y1+y2

x2-x1

（x-x₂）
令y=0可得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2kx1x2-k(x1+x2)

k(x1+x2-2)

=

2• 4k2-4 1+4k2 - 8k2 1+4k2

8k2 1+4k2 -2

=4
∴直線A′B與x軸交于一個定點，坐標為（4，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．