如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的頂點(diǎn)為A1、A2、B1、B2,焦點(diǎn)為F1,
F2,|A1B1|=
7
,
S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)l是過(guò)原點(diǎn)的直線,直線n與l垂直相交于P點(diǎn),且n與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),|OP|=1,求
AP
PB
的取值范圍.
分析:(1)由|A1B1|=
7
,知a2+b2=7,由SA1B1A2 B2=2SB1F1B2F2,知a=2c,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線n的斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性取P(1,0),A(1,
3
2
),B(1,-
3
2
),則
AP
PB
9
2
.當(dāng)直線n的斜率存在時(shí),令A(yù)B:y=kx+m,由|OP|=1,知m2=1+k2,
AP
PB
=(
OP
-
OA
)•(
OB
-
OP
)=1-
OA
OB
.聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,再利用韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算能夠求出
AP
PB
的取值范圍.
解答:解:(1)由|A1B1|=
7
,知a2+b2=7,①
SA1B1A2 B2=2SB1F1B2F2,知a=2c,②
又b2=a2-c2,③
由①②③解得a2=4,b2=3,故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
當(dāng)直線n的斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性取P(1,0),A(1,
3
2
),B(1,-
3
2
),
AP
PB
9
2

當(dāng)直線n的斜率存在時(shí),令A(yù)B:y=kx+m,
∵|OP|=1,∴
|m|
1+k2
=1
,即m2=1+k2,
∵|OP|=1,∴
AP
PB
=(
OP
-
OA
)•(
OB
-
OP
)=1-
OA
OB

聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
x1+x2=
-8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2
,(*)
OA
OB
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
,
將(*)代入并化簡(jiǎn)得
OA
OB
=
-5m2
4m2-1

AP
PB
=1+
5
4-
1
m2
,
由1+k2=m2,得m2≥1,∴0<
1
m2
≤1
,∴
9
4
AP
PB
8
3

綜上所述,
AP
PB
的取值范圍是(
9
4
,
8
3
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓、向量的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
2
=1
焦點(diǎn)在x軸上,左、右頂點(diǎn)分別為A1、A,上頂點(diǎn)為B,拋物線C1、C2分別以A、B為焦點(diǎn),其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O.C1與C2相交于直線y=
2
x
上一點(diǎn)P.
(Ⅰ)求橢圓C及拋物線C1、C2的方程;
(Ⅱ)若動(dòng)直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N,已知點(diǎn)Q(-
2
,0),求
QM
.
QN
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•閘北區(qū)二模)如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn),證明:當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|PF1|取得最小值與最大值;
(Ⅱ)若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅲ)若直線l:y=kx+m與(Ⅱ)中所述橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且滿足AA2⊥BA2,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2-1
=1
的左右頂點(diǎn)分別為A、B,左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為以F1、F2為直徑的圓上異于F1、F2的動(dòng)點(diǎn),直線PF1、PF2分別交橢圓C于M、N和D、E.
(1)證明:
AP
BP
為定值K;
(2)當(dāng)K=-2時(shí),問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形DMEN的面積最小,若存在,求出最小值和P坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•重慶三模)光線被曲線反射,等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射.已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā),被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出;如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與雙曲線C′:
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0)
有公共焦點(diǎn),現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā),在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射,則光線經(jīng)過(guò)2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為( 。

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同步練習(xí)冊(cè)答案