(2011•重慶三模)光線被曲線反射,等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā),被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出;如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與雙曲線C′:
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0)
有公共焦點,現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā),在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射,則光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為( 。
分析:根據(jù)題意,可知光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點,光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后,反射光線的反向延長線過另一個焦點,從而可計算光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長.
解答:解:因為光線被曲線反射,等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā),被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出
所以,光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點,光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后,反射光線的反向延長線過另一個焦點
如圖,AF2=2m+AF1,
BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-(2m+AF1)+AF1=2a-2m
所以光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為2k(a-m)
故選D.
點評:本題以新定義為素材,考查橢圓、雙曲線的定義,考查學生對新定義的理解,理解新定義是關鍵.
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